{\newcommand{\rang}{\mathop{\mathrm{rang}}}


%Заменить | на что-нить более адекватное.. На \mid?

%Как лучше - \begin{gather*}
%	M=[B| AB| \dots| A^{n-1}B] \\
%\intertext{или}
%	M= \left[B\mid AB\mid \dots\mid A^{n-1}B\right] \ ?
%\end{gather*}

%Убрать матрицу M = [B|\dots|A^{n-1}B] совсем, или  наоборот именно её везде поставить?
% $$->begin/end{equation}

\section{Непрерывная задача оптимального управления.}
\subsection{Система с постоянными коэффициентами}
Рассмотрим систему
\begin{equation} \label{ConstKoefContSys}
	\left\{ \begin{array}{c}
	\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t),\\
	A=\const,\\
	B=\const.
	\end{array}\right.
\end{equation}
Для неё наша матрица $W$ имеет вид
\begin{equation*}
	W(t_1,t_0) = \int_{t_0}^{t_1} {X(t_1,\tau)BB^T X^T(t_1,\tau)\ d\tau} = \int_{t_0}^{t_1} {e^{A(t_1-\tau)}BB^T e^{A^T(t_1-\tau)}\ d\tau}.
\end{equation*}

Изучим $\Ker W$:
	%$l\in \Ker W \Leftrightarrow B^T e^{A^T(t_1-\tau)}l = 0 \ \forall \tau$
	т.\,к. $W=W^T \geqslant 0$, то 
	\begin{multline*}
		l\in \Ker W \Leftrightarrow 
		l^TWl = 0 =
		\int_{t_0}^{t_1} {(B^Te^{A^T(t_1-\tau)}l)^T B^Te^{A^T(t_1-\tau)}l}\ d\tau =\\
		\int_{t_0}^{t_1} \norm{B^Te^{A^T(t_1-\tau)}l}\ d\tau 
		\Leftrightarrow 
		l^Te^{A(t_1-\tau)}B \equiv 0.
	\end{multline*}
	
	Последнее равенство следует, вообще говоря, понимать как равенство почти всюду, но мы будем считать, что у нас все функции достаточно хорошие, и оно выполняется вообще везде.

%переформулировать, заменить стрелочки на Необходимо и Достаточно...
\begin{stm}
$\abs{W} \not=0 \Leftrightarrow \rang M=n$, где $M=[B| AB| \ldots| A^{n-1}B]$ --- матрица, составленная из матриц $B,AB,\ldots, A^{n-1}B$, поставленных в плотную друг к дружке. $M \in \real^{n \times mn}$.
\end{stm}
\begin{proof}
$\Longleftarrow$ (\emph{Достаточность}): Пойдём от противного: Пусть $M$ --- матрица полного ранга, но найдётся ${l\in \Ker W}$, $l\not= 0$. Тогда $l^Te^{A(t_1-\tau)}B\equiv0$. Продифференцируем это равенство {по $\tau$} $n-1$ раз: 
%Криво написана система?
\begin{equation}
	\begin{array}{r@{}cl}
		-l^T e^{A(t_1-\tau)} &AB &\equiv 0,\\
		\dots\\
		(-1)^{n-1} l^T e^{A(t_1-\tau)} &A^{n-1}B &\equiv 0.
	\end{array}
\end{equation}
Но тогда $l^Te^{A(t_1-\tau)} \perp B, AB, \ldots, A^{n-1}B$, что противоречит предположению.
%тут нужно указать, что l^Te^{A(t_1-\tau)} \not= 0, но откуда это следует???

%надо оформить Гамильтона-Кели, и его следствия как отдельную теоремку, и ссылаться на неё.
$\Longrightarrow$ (\emph{Необходимость}): Опять-таки, предположим противное, т.\,е. $\abs{W}\not=0$, но $\rang M < n$. Тогда найдётся вектор $l\not= 0$, т.\,ч. $l^TB=\dots=l^TA^{n-1}B=0$. Вспомним теорему Гамильтона--Кэли, которая гласит, что любая матрица является корнем своего характеристического многочлена. Из неё следует, что любая степень матрицы является линейной комбинацией её первых $n-1$ степеней.

Посему $l^TA^kB\equiv0 \ \forall k\geqslant 0$, а следовательно $l^Te^{A(t_1-\tau)}B\equiv 0$, и $\abs{W}=0$, что противоречит предположению.
\end{proof}

%Вырезать цензурой?
Условие $\rang M =n$ называется также \emph{полноранговым условием Калмана (?)}. Правда сам Калман занимался не столько управлением, сколько наблюдением за стохастическими процессами. Но это не суть важно =).
	
\begin{stm}
$\Im W = \Im M$, или, что то же, $\Ker W = \{l: l\perp \Im M\}$.
\end{stm}
%Слишком много кванторов
\begin{proof}
	Доказательство идёт по той же самой схеме, что и предыдущее: %поэтому мы опускаем большую его часть.
	
	$l\perp \Im M$ $\ \Rightarrow\ $ $l \perp B,AB,\dots A^{n-1}B$ $\ \stackrel{\text{нер. Гамильтона--Кели}}{\Rightarrow}\ $  $l^T e^{A(t-\tau)}B\equiv0$ $\ \Rightarrow\ $ $l \in \Ker W$.
	
	Обратно: %первому пункту предыдущего утверждения.
	%хотя, по-хорошему, стоит расписать...
	
	$ y \in \Ker W \Rightarrow l^Te^{A(t_1-\tau)} \perp B, AB,\dots,A^{n-1}B \Rightarrow l\perp \Im [B|AB|\dots|A^{n-1}B]. $
\end{proof}


Чем непрерывный случай принципиально отличается от дискретного? Тем, что в дискретном случае матрица $M$ выглядела как $[B|\dots|A^{min(k_1-k_0,n)}B]$, ибо у нас было лишь ограниченное число шагов, и их могло просто не хватить.

\begin{df}
Пара матриц $A,B$ называется \emph{[полностью(?)] управляемой}, если $\rang[B|AB|\dots|A^{n-1}B]=n$.
\end{df}

\begin{ex}%[полностью управляемой системы].
	Рассмотрим маятник: $\ddot{x} + \omega^2 x = u$. $x$ --- координата маятника, $u$ --- сила, которую мы к нему прилагаем.
	
	Управляема ли эта система? Сейчас узнаем.
	
	Обозначим $x_1=x, x_2 = \dot{x}$. Тогда
	\begin{equation} \label{PendulumSystem}
		\left\{
		\begin{aligned}
			\dot{x}_1 &=x_2, \\
			\dot{x}_2 &=-\omega^2 x_1 +u,
		\end{aligned}
		\right.
	\end{equation}
	и тогда наши матрицы имеют вид
	%array?
	\begin{equation*}
		A=\begin{bmatrix}
			0 & 1 \\ -\omega^2 & 0
		\end{bmatrix}, \ 
		B=\begin{bmatrix}
			0\\1
		\end{bmatrix}.
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		[B|AB] = \begin{bmatrix} 0&1\\1&0 \end{bmatrix}.
	\end{equation*}
	То есть наша система управляема, что в общем-то согласуется с бытовыми представлениями --- с помощью сколь угодно большой силы можно поставить маятник в любое положение и придать ему любую скорость за сколь угодно малое время
	%"можно перевести маятник в любое стстояние"?

%переформулировать нормально надо бы... Много слов...
Ещё стоит заметить, что, казалось бы, в \eqref{PendulumSystem} координата маятника не зависит от управления, поэтому на неё нельзя влиять управлением, но, на самом деле, это не так, ибо она зависит от скорости, которая в свою очередь зависит от управления очень даже.
\end{ex}
%Может быть, стоит привести пример не полностью управляемой системы? Например маятник в пространстве, на который мы можем влиять только по одной координате, но это нефизично, да и неинтересно - как будто кроме маятников ничего нету.
%В общем, требуется пример неуправляемой системы.

Если система не полностью управляема, то
%комментарий в тетрадке "Мы такое раньше не рассматривали". Почему? потому что начальное состояние - не точка, а множество точек. Надо включить как-то.
%вообще, к чему этот текст?... привязать жёстче надо
%multline?
%много символов. получается каша. Структуризовать.
\begin{multline*}
	\soa[t_1] = \soa(t,t_0,x^0) = \{x^1 \mid \exists\, u(\cdot), \exists\, x^0 \in \soa^0 : x(t_1,t_0,x^0|u(\cdot)) = x^1 \}  ={}\\{}= e^{A(t_1 - t_0)}\soa^0 + \Im [B|\dots|A^{n-1}B],
\end{multline*}
$x^1 \in \soa[t_1]$ $\Leftrightarrow$ $\exists\,\mu, \exists\, x^0 \in \soa^0: x^1-e^{A(t_1-t_0)}x^0 = c \in \soa_\mu[t_1]$, а $\mathop{\cup}\limits_\mu \soa_\mu = \Im[B|\dots|A^{n-1}B]$.
%непонятная фраза:
Так вот, если $\soa^0 = \{x^0\}$, то $\soa[t_1]$ --- есть линейное многообразие, и можно сказать, что $e^{A(t_1-t_0)}x^0$ --- есть центр сплющенного эллипсоида $\soa_\mu$, а в остальном всё (???) то же самое. (то же самое, как и что? наборщик недоумевает\ldots).

%нужно привязать этот абзац к тексту про то, что координата "как бы" не зависит от управления, или тот текст к этому абзацу.
Приведём следующую немаловажную теорему:
\begin{theorem}[о декомпозиции] %в лекциях оформлена как Утверждение...
Для любой линейной системы с постоянными коэффициентами \eqref{ConstKoefContSys}  найдётся такое [невырожденное] преобразование координат $y=Tx$ $T\not = 0$, что $y=(y^1,y^2)$, $y^1\in\real^k$, $y^2\in\real^{n-k}$, где $k=\rang[B|AB|\dots|A^{n-1}B]$, и система преобразуется к виду
\begin{equation*}
	\begin{array}{l}
		\dot{y}^1 = A_{11} y^1 + A_{12} y^2 + B_1 u, \\
		\dot{y}^2 = A_{22}y^2,
	\end{array}
\end{equation*}
причём $(A_{11},B)$ --- полностью управляема.
\end{theorem}
Собственно, это теорема (как следует из названия) о декомпозиции системы на полностью управляемую и неуправляемую части. $y^2$ \glqqq плывёт\grqqq{} сам по себе, а $y^1$ можно привести куда угодно (даже несмотря на добавку $A_{12}y^2$, ибо система для $y^1$ полностью управляема).

